Quante soluzioni ha un problema di Cauchy?

Domanda di: Noemi Marino  |  Ultimo aggiornamento: 18 marzo 2023
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Sia f(x, y))ex+y; tale funzione `e C1(R2) quindi ogni problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione locale, inoltre osserviamo che f(x, y) = ex ey e che quindi si tratta di un'equazione a variabili separabili.

Come capire quante soluzioni ha il problema di Cauchy?

Per risolvere il problema di Cauchy devo trovare tra le infinite soluzioni dell'equazione differenziale quella che soddisfa la condizione iniziale. In pratica devo individuare la funzione y=f(x) che soddisfa l'equazione differenziale e passa per il punto (x₀,y₀).

Quando il problema di Cauchy ha infinite soluzioni?

Aggiungendo la condizione y(0) = 0, si ha un problema di Cauchy, che in questo caso determina univocamente c = 0, per cui l'unica soluzione del problema di Cauchy è y(x) = sin(x). anche se non occorre ri-determinare c: l'unica soluzione è quella già trovata, y(x) = sin(x), e y(𝜋/2) = sin(𝜋/2) = 1 ≠ 0.

Quando un problema di Cauchy e ben posto?

Quante sono le soluzioni dell'equazione differenziale?

Essendo k una costante reale può assumere qualsiasi valore, quindi l'equazione differenziale ha infinite soluzioni. Nota. Il risultato è una famiglia di funzioni U(x)+k che si distinguono tra loro per il valore di una costante k.