Had better è sempre seguito da un verbo all'infinito senza 'to': You had better BE on time. Sarà meglio che tu arrivi in orario. Had better si forma SEMPRE con l'ausiliare 'have' al past simple ('has better' o 'will have better' non esistono!).
Esso è spesso utilizzato per opinioni su questioni legali o obblighi, d'altra parte should è usato per opinioni personali. Esempio: You ought to call the police. Had better: Had better si usa per dare consigli e corrisponde all'italiano faresti/farebbe/fareste meglio a.
Per esprimere il passato del verbo 'dovere' in inglese si usano had to e didn't have to. Le forme del modale must e mustn't si usano solo nel presente. had to esprime un obbligo o una necessità nel passato. They had to go through security checks to enter the buildng.
Si usano sempre seguiti da un altro verbo all'infinito e non vogliono il complemento oggetto. Inoltre, come suggerisce il nome servono per indicare come, perché o quando si verifica qualcosa.