Come svolgere i problemi di Cauchy?
Domanda di: Artemide Ruggiero | Ultimo aggiornamento: 18 marzo 2023Valutazione: 4.8/5 (68 voti)
Per risolvere il problema di Cauchy devo trovare tra le infinite soluzioni dell'equazione differenziale quella che soddisfa la condizione iniziale. In pratica devo individuare la funzione y=f(x) che soddisfa l'equazione differenziale e passa per il punto (x0,y0).
Quando il problema di Cauchy ha infinite soluzioni?
Aggiungendo la condizione y(0) = 0, si ha un problema di Cauchy, che in questo caso determina univocamente c = 0, per cui l'unica soluzione del problema di Cauchy è y(x) = sin(x). anche se non occorre ri-determinare c: l'unica soluzione è quella già trovata, y(x) = sin(x), e y(𝜋/2) = sin(𝜋/2) = 1 ≠ 0.
Quando un problema di Cauchy e ben posto?
Quando la soluzione del problema di Cauchy e unica?
Teorema di Cauchy per le equazioni lineari. Allora esiste δ > 0 ed esiste ed `e unica la soluzione del problema di Cauchy assegnato, definita sull'intervallo [t0 − δ, t0 + δ]. (t, y) = a(t) che `e continua per ipotesi. Sono quindi verificate le ipotesi del Teorema di esistenza e unicit`a enunciato in precedenza.
Come trovare soluzioni costanti equazione differenziale?
Le soluzioni costanti (o soluzioni nulle) dell'equazione differenziale sono i casi in cui y=0. Se y=0 allora anche la sua derivata deve essere nulla y'=0. Sapendo che y'=f(x)g(y), allora se y'=0 l'equazione diventa f(x)g(y)=0.