Cosa significa che l'insieme R è completo?

Domanda di: Rudy Caruso  |  Ultimo aggiornamento: 18 marzo 2023
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Ciò vuol dire che vale l'assioma di → Dedekind. Il fatto che in R sia soddisfatto l'assioma di Dedekind si esprime dicendo che R è completo come insieme ordinato; la completezza di R come insieme ordinato equivale di fatto alla sua completezza come spazio metrico.

Cosa vuol dire che un insieme è completo?

Per i nostri scopi possiamo ammettere questa definizione: un insieme si dice completo quando i suoi elementi ricoprono tutta la retta dei numeri, o meglio i suoi elementi sono in corrispondenza biunivoca con i punti della retta.

Cosa si intende per tutto R?

Quando il risultato è r?

Perché l'insieme Q non è completo?

Questo assioma è molto utile perché è essenziale per dimostrare che la retta reale è uno spazio metrico completo. L'insieme dei numeri razionali non soddisfa questo assioma, e perciò non è completo: per l'insieme S definito precedentemente non esiste un estremo superiore appartenente a Q.