In sostanza poi e dopo sono sinonimi. Entrambe le parole possono essere avverbi e sostantivi maschili invariabili. Inoltre, nell'italiano non arcaico, dopo può anche essere preposizione, avverbio e aggettivo invarabile.
Ti direi che sono la stessa cosa...pensandoci un po' "dopo" si usa seguito da qualcosa (es. dopo una passeggiata, mi sono fatto una doccia) mentre "poi" indica solo lo scorrere del tempo (Ho fatto una passeggiata. Poi, mi sono fatto una doccia) Non potrei dire "poi una passeggiata mi sono fatto una doccia".
di sostantivi, usati al masch. anche se il secondo componente è un femm. (il dopopranzo, il dopocena), che indicano in genere il periodo successivo (per es., il dopoguerra), ma anche ciò che si fa o si svolge o si usa dopo ciò che è indicato dal secondo componente (doposcuola, dopoborsa, dopobarba).
A avv. 1 In un tempo successivo, più tardi, poi: prima studia, d. giocherai; subito d.; molto tempo d.; poco d.; questo dolce me lo tengo per d. 2 Nel luogo che segue; oltre: non questa strada, quella subito d.