In francese, "il suo cognome" si traduce principalmente con "son nom de famille" (formale/preciso) o semplicemente "son nom". Per chiedere direttamente a qualcuno il cognome, le frasi comuni sono "Quel est votre nom de famille ?" (formale) o "Quel est ton nom de famille ?" (informale).
In francese, "nome e cognome" si traduce principalmente con "nom et prénom" o "nom complet"; su documenti ufficiali, il cognome è spesso indicato come "nom" (in maiuscolo) e il nome come "prénom" (o "prénoms" al plurale). Per chiedere il nome completo si usa "Quel est votre nom et prénom ?" o "Quel est votre nom complet ?".
In francese dire “quel est votre/ton nom ?” suona un po' strano e presumerei che stiano chiedendo specificamente il mio cognome in un contesto molto formale (tipo per compilare un modulo). Io userei sempre “comment tu t'appelles ?”, “comment vous appelez vous ?”