La locuzione corretta è "per sbaglio" (separata), che indica un'azione compiuta inavvertitamente, per errore o per svista. Si scrive con la lettera 's' seguita da 'b', senza raddoppiare la consonante iniziale.
Frequente la locuz. avv. per sbaglio (anche per isbaglio), in seguito a un errore commesso per inavvedutezza, per disattenzione o per altra causa involontaria: uscendo dal ristorante, per s.
in errore di distrazione, perché, stante la sinonimia tra errore e sbaglio, sarebbe come dire *errore di errore. Il rapporto di iperonimia tra le due parole è dunque troppo poco marcato per rendere plausibile l'espressione errore di sbaglio per indicare un 'errore dovuto a una disattenzione, compiuto in buona fede'.
Il tuo dubbio forse si confonde con la forma Qual è, che appunto non vuole l'apostrofo. Esso, infatti, è un troncamento della parola "come", mentre "qual" è una parola autonoma, che non termina per forza con la vocale "e". Nella forma scritta è sempre corretto scrivere come è.