I verbi essere e avere non hanno funzione ausiliare quando sono usati con significato proprio (predicativo), cioè indicano uno stato, possesso o sensazione, e non aiutano un altro verbo a formare i tempi composti.
Ma come avviene la scelta? La risposta è più semplice di quello che sembra. Se il verbo ha un uso intransitivo, ovvero non regge un complemento oggetto, allora l'ausiliare sarà essere. Invece se il verbo ha un uso transitivo, ovvero regge un complemento oggetto, allora l'ausiliare sarà avere.
L'ausiliare essere viene usato con la maggior parte dei verbi intransitivi (sono andato), con la forma passiva dei verbi intransitivi (sono stati premiati), con i verbi riflessivi e riflessivi reciproci (mi sono pettinato), con il si impersonale (si è detto), con il si passivante (si è udita una voce).
Il verbo avere può significare possedere qualcosa oppure sentire, nel senso di provare qualcosa (freddo, caldo, paura...). Ma se accompagna un altro verbo allora è un ausiliare e serve per formare il passato di quel verbo.
La campanella ha suonato è sicuramente giusto, ed esprime il mero fatto che la campanella ha emesso un suono. Però, come dice il Treccani alla voce corrispondente (2. c), quando il suono è usato per segnalare qualcosa, "è com.