Quando la soluzione del problema di Cauchy e unica?
Domanda di: Gabriele Donati | Ultimo aggiornamento: 18 giugno 2026Valutazione: 4.4/5 (38 voti)
La soluzione del problema di Cauchy 𝑦 ′ ( 𝑡 ) = 𝑓 ( 𝑡 , 𝑦 ( 𝑡 ) ) 𝑦 ′ ( 𝑡 ) = 𝑓 ( 𝑡 , 𝑦 ( 𝑡 ) ) con 𝑦 ( 𝑡 0 ) = 𝑦 0 𝑦 ( 𝑡 0 ) = 𝑦 0 è unica (localmente) quando la funzione 𝑓 ( 𝑡 , 𝑦 ) 𝑓 ( 𝑡 , 𝑦 ) è continua rispetto a 𝑡 𝑡 e, soprattutto, localmente Lipschitziana rispetto alla variabile 𝑦 𝑦 . Una condizione pratica sufficiente è che 𝑓 𝑓 e la sua derivata parziale 𝜕 𝑓 𝜕 𝑦 𝜕 𝑓 𝜕 𝑦 siano continue.
Qual è il teorema di esistenza e unicità del problema di Cauchy?
Teorema 11.29 (Teorema di esistenza e unicità) Sia W un sottoinsieme aperto di uno spazio vettoriale normato E, sia f : W → E una funzione di classe C1, e sia x0 ∈ W. Allora esistono a > 0 e un'unica soluzione u: J → W, con J = [t0 −a, t0 +a], del problema di Cauchy (11.7).
Quando un sistema lineare ha un'unica soluzione?
SISTEMI LINEARI OMOGENEI
In particolare: - se D (det. coefficienti) ≠ 0, il sistema è determinato e ha solo la soluzione nulla - se D = 0, il sistema ha infinite soluzioni determinabili in generale utilizzando il teorema di R-C e le tecniche su descritte.
Quante soluzioni ha un problema di Cauchy?
Il problema di Cauchy ha sempre un'unica soluzione: in particolare, quello con la condizione iniziale y (0) = 0 è risolto solo dalla funzione costante.
Quando un'equazione ammette una sola soluzione?
Un'equazione determinata ammette una e una sola soluzione, e corrisponde ad una coppia di rette incidenti, che si incontrano in un unico punto. Un'equazione indeterminata ammette infinite soluzioni (tutti i numeri reali) e corrisponde ad una coppia di rette coincidenti (si incontrano in tutti i loro punti).