La forma corretta è "sto a letto", scritta con la preposizione semplice "a" e senza apostrofi. Si utilizza per indicare che ci si trova fisicamente a letto, spesso con la sfumatura di volerci restare o di non sentirsi bene, distinguendosi dall'espressione più comune "sono a letto".
Andare a letto, essere a l., mettersi a l., cacciarsi a l., ficcarsi a l.: le espressioni più comuni esprimenti perlopiù moto a luogo in cui entra la parola letto prevedono nell'italiano moderno l'uso della preposizione semplice.
Senza guardare il vocabolario, direi la differenza fra "essere" e "stare": "sono a letto" vuol dire "mi trovo a letto in questo momento", mentre "sto a letto" vuol dire che voglio restare a letto. "Dove sei?" "Sono al letto".
oppure posso dire vado a letto. sempre utilizzando la preposizione semplice a. oppure posso dire vado a letto. aggiungendo la l sentendo un letto specifico.
Dunque anche sto, sta al posto di questo, questa non è sbagliato. È appunto, colloquiale: da usare nella lingua parlata, non in quella scritta. E con parsimonia.